202031054 Muhammad Dzaky Azmi Ar-Rafi B Informatika

 MATERI MATA PELAJARAN KALKULUS

1. Sistem Bilangan  REAL, ESTIMASI, DAN LOGIKa

Bilangan Real

Himpunan bilangan real (R) memuat himpunan bilangan rasional (Q), yang memuat himpunan bilangan bulat (Z)

Z = { … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

dan himpunan bilangan asli (N)

N = { 1, 2, 3, … }.

Dalam hal ini,

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.

Selanjutnya, R merupakan himpunan semesta

Sistem bilangan real R dengan operasi pen- jumlahan + dan perkalian × padanya memenuhi:

•         sifat aljabar (komutatif, asosiatif, distributif, …).

•         sifat urutan (hukum trikotomi, transitif, …) yang melibatkan lambang <, =, >.

•         sifat kelengkapan, yaitu bahwa R ‘merupakan’ garis yang “tak berlubang”.

Garis Bilangan Real sebagai representasi R:

-2        -1       0   ½   1  √2  2          Π

Estimasi

Dalam perhitungan, estimasi sering dilakukan. Sebagai contoh:

•               Π ≈ 3,14

•               √2 ≈ 1,4

•               2¹⁰ ≈ 1000

Logika

Dalam berargumentasi, kita akan sering meng- gunakan kalimat “Jika … , maka …”

Ingat Tabel Kebenaran “P → Q” (baca: “Jika P, maka Q”).

P	Q	P  Q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

 

Garis Bilangan Real :

2. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah kalimat yang mengandung tanda < (kurang dari) , > (lebih dari) , ≤ (kurang dari sama dengan) , dan ≥ (lebih dari sama dengan).

Ada beberapa bentuk dari pertidaksamaan linear, seperti:

Agar lebih mudah di pahami, berikut contohnya dalam bentuk garis bilangan ya Squad.

3.Pengertian Fungsi

Fungsi adalah suatu relasi yang memetakan untuk setiap himpunan X hanya sekali ke himpunan Y. Pemetaan itu disajikan dengan lambang sebagai berikut.

f:X→Y
Himpunan X disebut daerah asal fungsi atau domain f (dom f) dan Y disebut daerah kawan atau daerah hasil fungsi atau kodomain (kod f). Jika x∈X, maka y∈Y yang berelasi dengan elemen x disebut bayangan (atau peta) dari x oleh f, atau nilai dari fungsi f di x dan dilambangkan dengan y=f(x). Jadi jika b adalah bayangan a oleh f ditulis b=f(a) atau dengan kata lain nilai dari fungsi f di a adalah f(a)=b. Adapaun range (daerah hasil) dari f adalah himpunan bagian dari himpunan Y yang merupakan bayangan dari setiap anggota di himpuana X oleh f. Jadi dapat dituliskan dengan, rangge (f)={y∈Y : y=f(x)∀x∈X}. Dalam istilah lain, x∈X disebut variabel bebas dan y∈Y disebut variabel tak bebas.

Definisi Fungsi Formal

Misalnya f:X→Y, f adalah fungsi jika dan hanya jika ∀x1,x2∈X, x1=x2⇒f(x1)=f(x2).

Definisi ini sama artinya dengan definisi yang diberikan sebelumnya. Definisi ini digunakan untuk mengecek apakah suatu relasi adalah suatu fungsi. Sangat dianjurkan untuk menghapal dan memahaminya karena banyak digunakan nantinya.

Notasi Fungsi

Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca “f dari x” atau “f pada x” menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x)=x3−4 maka f(1)=13−4=−3.

Setelah memahami apa itu fungsi diharapkan kita dapat mengklasifikasi apa-apa saja yang termasuk fungsi dari berbagai relasi antara dua himpunan baik dalam pembelajaran matematika maupun di luar pembelajaran matematika, misalkan di dalam kehidupan sehari-hari seperti contoh sebelumnya di atas.

Untuk memhami konsep fungsi kalian tentu harus memahami konsep relasi antara dua himpunan dan konsep himpunan itu sendiri. Untuk memahami kesemua ini, kita harus benar-benar menguasai konsep logika matematika. Inilah yang belakangan ini disebut landasan matematika yaitu logika matematika, himpunan, relasi, dan fungsi.

• MACAM-MACAM FUNGSI

1. Menurut Sifatnya
2. Fungsi Ke dalam (Into)

Fungsi satu-satu/ fungsi into/ fungsi injektif f : A B disebut fungsi satu-satu jika setiap anggota A mempunyai bayangan yang berbeda, dengan kata lain tidak ada dua anggota A yang mempunyai bayangan yang sama didalam B. Jadi jika f(a1) = f(a2) maka a1 = a2 atau jika a1 a2 maka f(a1) f(a2).

 

2. Fungsi Kepada (Surjektif)

Misalkan f : A B maka range f(A) B. Jika f(A) = B, yaitu setiap y B ada x A sehingga f(x) = y, maka f disebut fungsi pada/ surjektif dari A ke B.

 

1. Menurut Jenis dan Fungsinya
2. Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang aturannya meliputi operasi aljabar (tambah, kurang, kali, bagi, akar, dan pangkat).

• Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan bulat . fungsi rasional meliputi :

• Fungsi Polinom

Fungsi polinom merupakan fungsi suku banyak bentuknya

f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 +…..+ a₂x² + a₁x + a₀

 dengan  a_n ≠ 0

a₀ = suku tetap

a_n , a_n-1 , …..a, a₀ = bilangan real

contoh fungi polinom : 2x³+ 4x² +6x-5

5x² + 4x -8       dst

 

• Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi yang berpangkat tiga.

Bentuknya f(x) = ax³ + bx² +cx + d

dengan a≠ 0

Contohnya fungsi kubik : x³ + 2x² + 5x +6

 

• Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya berpangkat 1 dan grafiknya merupakan garis lurus.

Bentuknya y = f(X) = ax + b dimana : a dan b = konstanta dan a≠ 0

Contoh dari fungsi linear: y = x+3

Langkah- langkah melukis fungsi grafik linear:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1 ,0)
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B (0, y1)
3. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.

Contoh soal:

Buatlah grafik dari persaamaan y = x + 3

Penyelesaiannya

Pertama kita tentukan titik perpotongan pada kedua sumbu:

• Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = x + 3

y = 0 + 3

y = 3

• Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:

y = x + 3

0 = x + 3

x = -3

• Kemudian kita tarik garis lurus dari titik koordinat tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut:

Soal Fungsi Linear:

Gambarlah grafik fungsi linear berikut ini :

1. F(x) = 2x + 5

Jawab:

1. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = 2x + 5

y = 0 + 5

y = 5 …………. (0,5)

Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:

y = 2x + 5

0 = 2x + 5

x = 2,5…………(2.5,0)

 4. Limit Bilangan e dan Limit Trigonometri

Limit Euler

Barisan bilangan dapat dianggap sebagai fungsi dengan domain bilangan asli. Misalkan diberikan fungsi

dengan n bilangan asli.
Rumus fungsi tersebut dapat dikembangkan dengan menerapkan Ekspansi Newton, yaitu

Untuk n→∞, ditulis

Bilangan irasional 2,7172818⋯ selanjutnya dikenal sebagai bilangan euler dan dinotasikan dengan huruf e. Bilangan ini merupakan konstanta penting dalam bidang kalkulus.

Limit Trigonometri

Trigonometri (Trigonometry) adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan panjang sisi dan besar sudut dalam suatu segitiga. Enam istilah yang identik dalam trigonometri adalah sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen. Enam istilah ini disebut sebagai perbandingan trigonometri.

Teorema Trigonometri

5.Limit kontinuitas dan diskontinuitas

Artikel kali ini  saya akan membahas mengenai kontinuitas atau continuity dalam isitilah bahasa inggrisnya. Kontinuitas dapat disamakan artinya dengan kesinambungan. Lawan kontinuitas adalah diskontinuitas, dimana jika kontinuitas itu kesinambungan maka diskontinuitas adalah tak sinambung. Kontinuitas suatu fungsi kurang lebih sama artinya dengan kesinambungan suatu fungsi.

Kontinuitas suatu fungsi sangat erat kaitannya dengan limit fungsi, maka dari itu prasyarat memahami materi limit sangat diperlukan di sini. Kontinuitas dan diskontinuitas dapat digambarkan dengan tiga buah grafik di bawah ini.

Grafik (1) menggambarkan suatu fungsi yang kontinu, grafik (2) terdapat lubang (lingkaran terbuka) menggambarkan suatu fungsi yang diskontinu, dan grafik (3) terlihat jelas jika fungsi tersebut diskontinu juga. Nah, dapatkah kita menengetahui suatu fungsi kontinu atau tidak tanpa menggambarnya? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, simaklah penjelasan di bawah ini.

Syarat Kontinuitas Suatu Fungsi

Suatu fungsi dikatakan kontinu atau tidak apabila memenuhi beberapa syarat. Simaklah definisi berikut
Misalkan f(x) terdefinisi dalam interval yang memuat x = a. Fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = a jika dan hanya jika limx→af(x)=f(a)$li{m}_{x\to a}f(x)=f(a)$
Suatu fungsi f(x) dapat dikatakan kontinu di x = a apabila memenuhi tiga syarat
1. f(a) harus ada (terdefinisi)
2. limx→af(x)$li{m}_{x\to a}f(x)$ harus ada

3. limx→af(x)=f(a)$li{m}_{x\to a}f(x)=f(a)$
Jika salah satu diantara ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi f(x) tidak kontinu pada interval x = a.

Untuk lebih jelasnya mari simak contoh soal beserta pembahasanya berikut ini

Contoh 1
Selidiki, apakah fungsi f(x)=x3−x+1$f(x)=x^3-x+1$ kontinu di x = 1?
Penyelesaian
Syarat 1
f(1)=13−1+1=1$f(1)=1^3-1+1=1$ (ada)
Syarat 2
limx→1x3−x+1=13−1+1=1$li{m}_{x\to 1}{x}^3-x+1=1^3-1+1=1$ (ada)
Syarat 3
f(1)=1$f(1)=1$ dan limx→1f(x)=1$li{m}_{x\to 1}f(x)=1$, maka limx→1f(x)=f(1)$li{m}_{x\to 1}f(x)=f(1)$
Karena ketiga syarat terpenuhi, maka fungsi f(x)=x3−x+1$f(x)=x^3-x+1$ kontinu di x = 1

Contoh 2

Selidiki, apakah fungsi f(x)=x2−4x−2$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ kontinu di x = 2?
Penyelesaian
Syarat 1
f(2)=22−42−2$f(2)=\frac{2^2-4}{2-2}$ =00=$=\frac{0}{0}=$ tak terdefinisi (tidak ada)
Karena syarat 1 tidak terpenuhi, maka fungsi f(x)=x2−4x−2$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ tidak kontinu di x = 2

6.Limit Bentuk Tak Tentu

  Pada Limit terdapat limit bentuk tentu dan limit bentuk tak tentu. Pada postingan kali ini akan diberikan ringkasan padat jelas tentang Limit bentuk tak tentu dan beberapa contoh soal yang dapat muncul waktu Kuis, Ujian dan tes tes lain :)

    Macam macam bentuk tak tentu

    Cara penyelesaian

Menggunakan : Subtitusi

                          Perkalian akar sekawan

                           L’Hopital ( penurunan )

                                 

Tips :

untuk suatu limit fungsi disubtitusikan menghasilan bentukatau, maka fungsi tersebut harus terlebih dahulu diubah   menjadi bentuk

                        Kemudian limit fungsi tersebut dapat diselesaikan menggunakan L’Hopital.

          Trik :

                      Contoh Soal :

       Soal 1 

        Soal 2 

                          

7. Turunan Fungsi

Misalkan terdapat suatu fungsi f(x) = axn. Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = anxn – 1.

Contohnya yaitu:

f(x) = 3x3

turunan dari fungsi tersebut yaitu

f’(x) = 3 (3) x3 – 1 = 9 x2.

Contoh lainnya misalnya g(x) = -5y-3.

Turunan dari fungsi tersebut adalah g’(y) = -5 (-3) y-3 – 1  = 15y-4.

8. Fungsi Implisit    

Turunan fungsi Implisit – Apa yang dimaksud fungsi implisit ? yaitu fungsi yang memuat dua variabel  atau lebih,  variabel-variabel tersebut terdiri dari variabel bebas dan variabel tidak bebas, biasanya variabel-variabel tersebut dinyatakan dalam x dan y dimana variabel x dan y terletak didalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan menjadi ruas yang berbeda (baca : ruas kiri dan ruas kanan) seperti halnya fungsi eksplisit.

Turunan Fungsi Implisit  Serta bentuk umum nya

Secara umum bentuk  turunan fungsi implisit  adalah f(x,y) = 0, mencari turunan fungsi implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa.

Untuk lebih jelasnya Perhatikan contoh-contoh soal dibawah ini, bagaimana mencari turunan fungsi implisit.

Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Implisit

Tentukan   dari setiap fungsi Implisit dibawah ini!

[Penyelesaian]

Turunkanlah kedua ruas terhadap x,

[Penyelesaian]

Turunkanlah kedua ruas terhadap x,

9. Aplikasi Turunan (mencari nilai maksimum dan minimum)

Kondisi suatu grafik fungsi $y=f(x)$ mempunyai tiga keadaan, yaitu keadaan naik (kurva fungsi naik), keadaan turun (kurva fungsi turun), dan keadaan diam (kurva fungsi stasioner). Kali ini, kita akan membahas mengenai kondisi suatu fungsi ketika dalam keadaan diam (stasioner) beserta perluasannya.

Nilai Stasioner dan Titik Stasioner

Misalkan $c$ adalah anggota dari domain asal fungsi $f$. Jika $f^{\prime }(c)=0$, maka $f(c)$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x=c$. Pasangan nilai $c$ dan $f(c)$ dalam koordinat berbentuk $(c,f(c))$ dinamakan titik stasioner. Titik stasioner juga disebut titik kritis, titik balik, titik ekstrem, atau titik optimum.

Jenis-jenis Ekstrem Suatu Fungsi

Penentuan jenis-jenis ekstrem suatu fungsi dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu uji turunan pertama dan uji turunan kedua.

a. Uji turunan pertama

Jika $f^{\prime }(c)=0$, maka $f(c)$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x=c$. Nilai stasioner mungkin saja merupakan nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau titik belok horizontal pada grafik fungsi $f$. Jenis nilai-nilai stasioner ini dapat ditentukan dengan memperhatikan tanda kepositivan $f^{\prime }(x)$ di sekitar $x=c$.

1. $f(x)$ mempunyai nilai balik maksimum $f(c)$ jika $f^{\prime }(x)$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol.
2. $f(x)$ mempunyai nilai balik minimum $f(c)$ jika $f^{\prime }(x)$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol.
3. $f(x)$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ jika $f^{\prime }(x)$ tidak berganti tanda saat melalui nol.

Tafsiran geometri dari uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrem fungsi dapat dilihat di bawah.
1) $f(x)$ mempunyai nilai balik maksimum $f(c)$ dan titik ekstrem $(c,f(c))$.

2) $f(x)$ mempunyai nilai balik minimum $f(c)$ dan titik ekstrem $(c,f(c))$.
3) $f(x)$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ dengan titik belok $(c,f(c))$. Dalam hal ini, $f(c)$ bukan nilai ekstrem fungsi.
b. Uji turunan kedua

Uji turunan kedua sangat diperlukan untuk menentukan titik belok kurva suatu fungsi. Uji turunan kedua pada penentuan jenis ekstrem fungsi juga didasari pada pengamatan tanda kepositivan $f^{\prime }(c)$ di sekitar $x=c$ yang diperoleh dari $f^{\prime }(x)=0$. Uji turunan kedua diperlukan untuk fungsi polinomial berderajat tiga atau lebih.

Misalkan fungsi $f$ kontinu dan diferensiabel (dapat diturunkan) dalam interval $I$ yang memuat $x=c$. Turunan pertamanya adalah $f^{\prime }(x)$, sedangkan turunan keduanya adalah $f^{\prime \prime }(x)$ pada interval $I$, serta $f^{\prime }(c)=0$ dengan $f(c)$ adalah nilai stasioner.

10. Aplikasi Turunan (monotonan,kecekungan, dan titik belok)

Teorema Kemonotonan

Teorema Kemonotonan

Contoh :

Teorema Kecekungan

Teorema Kecekungan

Contoh :

Titik Belok :

• Memakai turunan kedua
• Menggunakan titik stasioner/titik singular untuk mencarinya
• Lalu masukkan nilai x ke persamaan awal

Maksimum dan Minimm Lokal :

Pada titik selang terbuka (a,b) yang memuat c dan andaikan f' (c) = 0

• Menggunaka definisi titik stasioner
• Menggunaka uji turunan pertama
• Masukkan nilai x ke persamaan awal 

Atau dapat dengan cara :

• Menggunakan uji turunan kedua
- f'' ( c ) < 0 ∶ nilai maksimum lokal f

- f'' ( c ) > 0 ∶ nilai minimum lokal f